与えられた画像には複数の数学の問題が含まれています。ここでは、以下の3つの問題について解答します。 * 問題3の左側の行列式の値を求める。 * 問題7の2つのベクトルのなす角を求める。 * 問題8の2つのベクトルの外積を求める。

1. 問題の内容

与えられた画像には複数の数学の問題が含まれています。ここでは、以下の3つの問題について解答します。

* 問題3の左側の行列式の値を求める。

* 問題7の2つのベクトルのなす角を求める。

* 問題8の2つのベクトルの外積を求める。

2. 解き方の手順

**問題3**

行列式

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 3 & 6 \\

3 & 6 & 7

\end{vmatrix}

$$

を計算します。

行列式は以下のように計算できます。

$1*(3*7 - 6*6) - 2*(2*7 - 6*3) + 3*(2*6 - 3*3) = 1*(21-36) - 2*(14-18) + 3*(12-9) = -15 - 2*(-4) + 3*3 = -15 + 8 + 9 = 2$

**問題7**

ベクトル $\vec{a} = (4, -1, -1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ のなす角 $\theta$ を求めます。

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は $|\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta}$ に等しいことを利用します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (-1)(-2) + (-1)(1) = 8 + 2 - 1 = 9$

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{9}{(3\sqrt{2})(3)} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 45^\circ$

**問題8**

ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 2)$ と $\vec{b} = (1, 1, 2)$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求めます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

3 & 4 & 2 \\

1 & 1 & 2

\end{vmatrix} = (4*2 - 2*1)\vec{i} - (3*2 - 2*1)\vec{j} + (3*1 - 4*1)\vec{k} = (8-2)\vec{i} - (6-2)\vec{j} + (3-4)\vec{k} = 6\vec{i} - 4\vec{j} - 1\vec{k}$

したがって、$\vec{a} \times \vec{b} = (6, -4, -1)$

3. 最終的な答え

* 問題3: 2

* 問題7: 45°

* 問題8: (6, -4, -1)