画像に示された線形代数の問題を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、行列の計算、行列式の計算、逆行列の計算が含まれます。

1. 問題の内容

画像に示された線形代数の問題を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、行列の計算、行列式の計算、逆行列の計算が含まれます。

2. 解き方の手順

[1]

まず、以下の行列が与えられています。

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

* $AB - 2BC$を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 11 & 17 \end{pmatrix}$

$2BC = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix}$

$AB - 2BC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$

したがって、ア = 3、イ = -19 となります。

* $ABC$ を計算します。

$ABC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 15 \\ 33 & 51 \end{pmatrix}$

したがって、ウ = 15, エ = 33 となります。

[2]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \\ 4 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

行列Aは4行2列の行列であるので、オ=4, カ=2 となります。

[3]

* 行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

2行目は1行目の2倍であるので、この行列式は0です。したがって、キ = 0 です。

* 行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

2行目に関して余因子展開すると、

$1 \times \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$= (5(4-4) - 3(7-2) + 2(14-4)) - (5(10-0) - 4(14-4) + 3(0-5)) = (-15+20) - (50 - 40 - 15) = 5 - (-5) = 10$

したがって、ク = 10 です。

[4]

$A\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{6-4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

したがって、ケ = -3, コ = 5 となります。

[5]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$

$det(A) = 1(2+5) - 1(-4-0) + (-5)(2-0) = 7+4-10 = 1$

$adj(A) = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 10 \\ 4 & 2 & -5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 10 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 10 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

したがって、サ = 7, シ = 3, ス = -5 となります。

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = -19

ウ = 15

エ = 33

オ = 4

カ = 2

キ = 0

ク = 10

ケ = -3

コ = 5

サ = 7

シ = 3

ス = -5