与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。 $1 / (\sqrt{6} + \sqrt{20}) - \sqrt{5} / (\sqrt{6} - \sqrt{20})$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。

$1 / (\sqrt{6} + \sqrt{20}) - \sqrt{5} / (\sqrt{6} - \sqrt{20})$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

* $1 / (\sqrt{6} + \sqrt{20})$の有理化

分子と分母に$(\sqrt{6} - \sqrt{20})$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{20}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{20}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{20}}{\sqrt{6} - \sqrt{20}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{20}}{6 - 20} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{20}}{-14}$

* $\sqrt{5} / (\sqrt{6} - \sqrt{20})$の有理化

分子と分母に$(\sqrt{6} + \sqrt{20})$をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{20}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{20}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{20}}{\sqrt{6} + \sqrt{20}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{20})}{6 - 20} = \frac{\sqrt{30} + \sqrt{100}}{-14} = \frac{\sqrt{30} + 10}{-14}$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{20}}{-14} - \frac{\sqrt{30} + 10}{-14} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{20} - (\sqrt{30} + 10)}{-14} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{20} - \sqrt{30} - 10}{-14}$

$\sqrt{20}$は$2\sqrt{5}$と書き換えられます。

$\frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{5} - \sqrt{30} - 10}{-14}$

$\frac{-(\sqrt{6} - 2\sqrt{5} - \sqrt{30} - 10)}{14}$

問題文に「x」の記号があるので式全体をxで掛けてみます

$x \cdot \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{20}} - x \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{20}}$

$= x (\frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{5} - \sqrt{30} - 10}{-14})$

$= x (\frac{10 + \sqrt{30} + 2\sqrt{5} - \sqrt{6}}{14})$

3. 最終的な答え

$x (\frac{10 + \sqrt{30} + 2\sqrt{5} - \sqrt{6}}{14})$