底面が1辺4cmの正方形で、他の辺が5cmである正四角錐O-ABCDの体積を求める問題です。ここで、Hは底面の正方形ABCDの対角線の交点です。

1. 問題の内容

底面が1辺4cmの正方形で、他の辺が5cmである正四角錐O-ABCDの体積を求める問題です。ここで、Hは底面の正方形ABCDの対角線の交点です。

2. 解き方の手順

まず、正四角錐O-ABCDの底面積を計算します。底面は1辺が4cmの正方形なので、面積は $4 \times 4 = 16$ cm$^2$ です。

次に、OHの長さを計算します。

三角形OAHは直角三角形です。AHは正方形ABCDの対角線の半分の長さなので、まず対角線の長さを計算します。

正方形の対角線の長さは、$\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cmです。

したがって、AHの長さは、$\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cmです。

直角三角形OAHにおいて、OA = 5 cm、AH = $2\sqrt{2}$ cmなので、三平方の定理より、

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$OH^2 + (2\sqrt{2})^2 = 5^2$

$OH^2 + 8 = 25$

$OH^2 = 17$

$OH = \sqrt{17}$ cm

最後に、正四角錐の体積を計算します。体積は、

$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ} = \frac{1}{3} \times 16 \times \sqrt{17} = \frac{16\sqrt{17}}{3}$ cm$^3$

3. 最終的な答え

$\frac{16\sqrt{17}}{3}$ cm$^3$