与えられた積分を計算し、その比を求める問題です。問題の式は以下の通りです。 $\frac{\int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{2r}{a_0}} dr}{\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2r}{a_0}} dr}$ ここで、$a_0$ は定数（ボーア半径）です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、その比を求める問題です。問題の式は以下の通りです。

$\frac{\int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{2r}{a_0}} dr}{\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2r}{a_0}} dr}$

ここで、$a_0$ は定数（ボーア半径）です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母の積分をそれぞれ計算します。

(1) 分母の積分：

$I_1 = \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2r}{a_0}} dr$

$u = \frac{2r}{a_0}$ と置換すると、$du = \frac{2}{a_0} dr$ となり、$dr = \frac{a_0}{2} du$ です。積分範囲も、$r: 0 \to \infty$ に対して $u: 0 \to \infty$ となります。

$I_1 = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{a_0}{2} du = \frac{a_0}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{a_0}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{a_0}{2} [0 - (-1)] = \frac{a_0}{2}$

(2) 分子の積分：

$I_2 = \int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{2r}{a_0}} dr$

部分積分を行います。$u = r$, $dv = e^{-\frac{2r}{a_0}} dr$ とすると、$du = dr$, $v = -\frac{a_0}{2} e^{-\frac{2r}{a_0}}$ です。

$I_2 = [r (-\frac{a_0}{2} e^{-\frac{2r}{a_0}})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-\frac{a_0}{2} e^{-\frac{2r}{a_0}}) dr$

$I_2 = [-\frac{a_0}{2} r e^{-\frac{2r}{a_0}}]_{0}^{\infty} + \frac{a_0}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2r}{a_0}} dr$

$\lim_{r \to \infty} r e^{-\frac{2r}{a_0}} = 0$ なので、第一項は0になります。したがって、

$I_2 = 0 + \frac{a_0}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{2r}{a_0}} dr = \frac{a_0}{2} I_1 = \frac{a_0}{2} \cdot \frac{a_0}{2} = \frac{a_0^2}{4}$

(3) 比を計算する：

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{a_0^2}{4}}{\frac{a_0}{2}} = \frac{a_0^2}{4} \cdot \frac{2}{a_0} = \frac{a_0}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{a_0}{2}$