$\int (\sin x + \sin 2x)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int (\sin x + \sin 2x)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin x + \sin 2x)^2$ を展開します。

$(\sin x + \sin 2x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \sin 2x + \sin^2 2x$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$2\sin x \sin 2x = 2\sin x (2\sin x \cos x) = 4 \sin^2 x \cos x$

したがって、

$\int (\sin x + \sin 2x)^2 dx = \int (\sin^2 x + 4\sin^2 x \cos x + \sin^2 2x) dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C_1$

$\int \sin^2 2x dx = \int \frac{1 - \cos 4x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin 4x + C_2$

$\int 4\sin^2 x \cos x dx = 4\int \sin^2 x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換すると、 $du = \cos x dx$

$4\int u^2 du = 4(\frac{u^3}{3}) + C_3 = \frac{4}{3}\sin^3 x + C_3$

よって、

$\int (\sin^2 x + 4\sin^2 x \cos x + \sin^2 2x) dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{4}{3}\sin^3 x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin 4x + C$

$= x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{4}{3}\sin^3 x - \frac{1}{8}\sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{4}{3}\sin^3 x - \frac{1}{8}\sin 4x + C$