関数 $f(x) = \log(1 + e^x) + \frac{1 - e^x}{1 + e^x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 第1次導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を求めます。 (2) 極限 $\lim_{x \to \infty} f'(x)$ を求め、 $a = \lim_{x \to \infty} f'(x)$ とおいたとき、極限 $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - ax\}$ を求めます。 (3) 関数 $f(x)$ の増減、極値、曲線 $C$ の凹凸、変曲点、および漸近線を調べ、曲線 $C$ の概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1 + e^x) + \frac{1 - e^x}{1 + e^x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 第1次導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を求めます。

(2) 極限 $\lim_{x \to \infty} f'(x)$ を求め、 $a = \lim_{x \to \infty} f'(x)$ とおいたとき、極限 $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - ax\}$ を求めます。

(3) 関数 $f(x)$ の増減、極値、曲線 $C$ の凹凸、変曲点、および漸近線を調べ、曲線 $C$ の概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(1 + e^x) + \frac{1 - e^x}{1 + e^x}$ を微分します。

まず、第1項の微分は $\frac{e^x}{1 + e^x}$ です。

第2項は商の微分法 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 1 - e^x$ 、 $v = 1 + e^x$ とすると、$u' = -e^x$ 、 $v' = e^x$ なので、

$\frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-e^x(1 + e^x) - (1 - e^x)e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{-e^x - e^{2x} - e^x + e^{2x}}{(1 + e^x)^2} = \frac{-2e^x}{(1 + e^x)^2}$

したがって、$f'(x) = \frac{e^x}{1 + e^x} + \frac{-2e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x(1 + e^x) - 2e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^{2x} - e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x(e^x - 1)}{(1 + e^x)^2}$

次に、$f''(x)$ を求めます。$f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{(1 + e^x)^2}$ を微分します。

$u = e^x(e^x - 1) = e^{2x} - e^x$ 、 $v = (1 + e^x)^2 = 1 + 2e^x + e^{2x}$ とすると、

$u' = 2e^{2x} - e^x$ 、 $v' = 2e^x + 2e^{2x} = 2e^x(1 + e^x)$ なので、

$f''(x) = \frac{(2e^{2x} - e^x)(1 + e^x)^2 - e^x(e^x - 1)2e^x(1 + e^x)}{(1 + e^x)^4} = \frac{(2e^{2x} - e^x)(1 + e^x) - 2e^{2x}(e^x - 1)}{(1 + e^x)^3}$

$= \frac{2e^{2x} + 2e^{3x} - e^x - e^{2x} - 2e^{3x} + 2e^{2x}}{(1 + e^x)^3} = \frac{3e^{2x} - e^x}{(1 + e^x)^3} = \frac{e^x(3e^x - 1)}{(1 + e^x)^3}$

(2) $\lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x(e^x - 1)}{(1 + e^x)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} - e^x}{1 + 2e^x + e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - e^{-x}}{e^{-2x} + 2e^{-x} + 1} = \frac{1 - 0}{0 + 0 + 1} = 1$

よって、$a = 1$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \{f(x) - ax\} = \lim_{x \to \infty} \{\log(1 + e^x) + \frac{1 - e^x}{1 + e^x} - x\}$

$= \lim_{x \to \infty} \{\log(e^{-x} + 1) + x + \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} - x\} = \lim_{x \to \infty} \{\log(e^{-x} + 1) + \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1}\}$

$= \log(0 + 1) + \frac{0 - 1}{0 + 1} = \log(1) - 1 = 0 - 1 = -1$

(3) $f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{(1 + e^x)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $e^x = 1$ のときなので $x = 0$ 。

$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$ であり、$x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ 。

したがって、$f(x)$ は $x = 0$ で極小値をとります。

$f(0) = \log(1 + 1) + \frac{1 - 1}{1 + 1} = \log 2$ 。

$f''(x) = \frac{e^x(3e^x - 1)}{(1 + e^x)^3}$

$f''(x) = 0$ となるのは $3e^x = 1$ のときなので $e^x = \frac{1}{3}$ 、つまり $x = \log \frac{1}{3} = -\log 3$ 。

$x < -\log 3$ のとき、$f''(x) < 0$ であり、$x > -\log 3$ のとき、$f''(x) > 0$ 。

したがって、$x = -\log 3$ で変曲点を持ちます。

$f(-\log 3) = \log(1 + \frac{1}{3}) + \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \log \frac{4}{3} + \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \log \frac{4}{3} + \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \{\log(1 + e^x) + \frac{1 - e^x}{1 + e^x}\} = \log(1 + 0) + \frac{1 - 0}{1 + 0} = 0 + 1 = 1$

したがって、$y = 1$ は漸近線です。

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = -1$ より、$y = x - 1$ が漸近線です。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1)}{(1 + e^x)^2}$ 、 $f''(x) = \frac{e^x(3e^x - 1)}{(1 + e^x)^3}$

(2) $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 1$ 、 $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - ax\} = -1$

(3) 増減表と凹凸を調べ、グラフを描画します。

- 極小値：$x=0$ で $f(0) = \log 2$

- 変曲点：$x = -\log 3$ で $f(-\log 3) = \log \frac{4}{3} + \frac{1}{2}$

- 漸近線：$y = 1$ ($x \to -\infty$) 、 $y = x - 1$ ($x \to \infty$)

（グラフの概形は省略します。増減表と凹凸に基づいて描画してください。）