問題は、次の2つの複素数の計算をすることです。 (1) $\frac{1}{(1-i)^6}$ (2) $(\frac{1+i}{\sqrt{3}+i})^{12}$ それぞれの答えを、与えられた選択肢から選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

問題は、次の2つの複素数の計算をすることです。

(1) $\frac{1}{(1-i)^6}$

(2) $(\frac{1+i}{\sqrt{3}+i})^{12}$

それぞれの答えを、与えられた選択肢から選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{(1-i)^6}$ について

まず、$1-i$ を極形式で表します。

$1-i = \sqrt{2} (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$

ド・モアブルの定理より、

$(1-i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos(-\frac{6\pi}{4}) + i \sin(-\frac{6\pi}{4})) = 8 (\cos(-\frac{3\pi}{2}) + i \sin(-\frac{3\pi}{2})) = 8 (0 + i) = 8i$

よって、

$\frac{1}{(1-i)^6} = \frac{1}{8i} = \frac{1}{8i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-8i^2} = \frac{-i}{8} = -\frac{1}{8}i$

選択肢から、答えは⑤です。

(2) $(\frac{1+i}{\sqrt{3}+i})^{12}$ について

まず、$1+i$ と $\sqrt{3}+i$ を極形式で表します。

$1+i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))$

$\sqrt{3}+i = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$

よって、

$\frac{1+i}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12})) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12}))$

$(\frac{1+i}{\sqrt{3}+i})^{12} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{12} (\cos(\frac{12\pi}{12}) + i \sin(\frac{12\pi}{12})) = (\frac{1}{2})^6 (\cos(\pi) + i \sin(\pi)) = \frac{1}{64} (-1 + 0i) = -\frac{1}{64}$

選択肢から、答えは④です。

3. 最終的な答え

(1) ⑤

(2) ④