2次方程式 $x^2 + 6x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求める。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (3) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 6x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(3) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

である。

この問題では、$a=1, b=6, c=-3$ なので、

$$\alpha + \beta = -\frac{6}{1} = -6$$

$$\alpha \beta = \frac{-3}{1} = -3$$

となる。

(1) $\alpha + \beta$ は、すでに求めた。

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = -6$, $\alpha \beta = -3$ を代入すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{-6}{-3} = 2$

(3) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1$

$\alpha + \beta = -6$, $\alpha \beta = -3$ を代入すると、

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -3 + (-6) + 1 = -8$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -6$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 2$

(3) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = -8$