2次方程式 $x^2 + 6x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (3) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 6x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(3) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

です。

今回の2次方程式は $x^2 + 6x - 3 = 0$ なので、$a = 1, b = 6, c = -3$ です。したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{6}{1} = -6$

$\alpha \beta = \frac{-3}{1} = -3$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

$(\alpha + \beta) = -6$ と $\alpha \beta = -3$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 - 2(-3) = 36 + 6 = 42$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を求めます。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = -6$ と $\alpha \beta = -3$ を代入すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{-6}{-3} = 2$

(3) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ を求めます。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1$

$\alpha + \beta = -6$ と $\alpha \beta = -3$ を代入すると、

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -3 + (-6) + 1 = -3 - 6 + 1 = -8$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 42$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 2$

(3) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = -8$