問題は2つの部分に分かれています。 (1) 2つの連立不等式 $3(x+1) \ge 5(x-1)$ と $\frac{1}{6} - \frac{1}{2}x < -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x$ を同時に満たす整数 $x$ の個数を求める。 (2) 不等式 $\frac{3}{5}x+2 > \frac{4}{3}x-1$ (①) と $4x+2 > 5(a-x)+3x$ (②) について、以下の問いに答える。 (a) ①, ②をそれぞれ解く。 (b) ①, ②を同時に満たす整数が1つだけ存在するような $a$ の値の範囲を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) 2つの連立不等式 $3(x+1) \ge 5(x-1)$ と $\frac{1}{6} - \frac{1}{2}x < -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x$ を同時に満たす整数 $x$ の個数を求める。

(2) 不等式 $\frac{3}{5}x+2 > \frac{4}{3}x-1$ (①) と $4x+2 > 5(a-x)+3x$ (②) について、以下の問いに答える。

(a) ①, ②をそれぞれ解く。

(b) ①, ②を同時に満たす整数が1つだけ存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの不等式を解きます。

$3(x+1) \ge 5(x-1)$ は $3x+3 \ge 5x-5$ となり、$2x \le 8$ より $x \le 4$ となります。

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2}x < -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x$ は、両辺に6を掛けて $1-3x < -4 + 2x$ となり、$5x > 5$ より $x > 1$ となります。

したがって、$1 < x \le 4$ となり、この範囲にある整数は $x = 2, 3, 4$ の3個です。

(2)

(a)

不等式①: $\frac{3}{5}x+2 > \frac{4}{3}x-1$ について、両辺に15を掛けて $9x+30 > 20x-15$ となり、$11x < 45$ より $x < \frac{45}{11}$ となります。

不等式②: $4x+2 > 5(a-x)+3x$ について、$4x+2 > 5a-5x+3x$ となり、$6x > 5a-2$ より $x > \frac{5a-2}{6}$ となります。

(b)

①, ②を同時に満たす整数が1つだけ存在するため、$\frac{5a-2}{6} < x < \frac{45}{11}$ となる整数が1つだけである必要があります。

$\frac{45}{11} \approx 4.09$ であるため、$x$ は4以下である必要があります。整数が1つだけ存在するため、その整数は4である必要があります。したがって、

$\frac{5a-2}{6} < 4 \le \frac{5a-2}{6} + 1$

$4 \le \frac{45}{11}$ は常に満たされます。

$\frac{5a-2}{6} < 4$ より $5a-2 < 24$ であり、$5a < 26$ より $a < \frac{26}{5} = 5.2$

$3 \le \frac{5a-2}{6}$ より $18 \le 5a-2$ であり、$20 \le 5a$ より $a \ge 4$

したがって、$4 \le a < 5.2$ となります。

$3 < \frac{5a-2}{6} \le 4$

$18 < 5a - 2 \le 24$

$20 < 5a \le 26$

$4 < a \le 5.2$

より厳密に、

$\frac{5a-2}{6}$は3と4の間になければなりません.もし$\frac{5a-2}{6} = 3$のとき,不等式は$3 < x < \frac{45}{11}$となるため,x=4のみが解になります。

$\frac{5a-2}{6} = 4$のとき,不等式は$4 < x < \frac{45}{11}$となるため,解なしです。

したがって,$3 \le \frac{5a-2}{6} < 4$となる必要があります。

$18 \le 5a -2 < 24$

$20 \le 5a < 26$

$4 \le a < \frac{26}{5} = 5.2$

3. 最終的な答え

(1) 3個

(2) (a) ①: $x < \frac{45}{11}$, ②: $x > \frac{5a-2}{6}$

(b) $4 \le a < \frac{26}{5}$