整式 $A = 6x^2 + 5xy + y^2 + 2x - y - 20$ を因数分解し、$A = (Ax + y + B)(Cx + y - D)$ の形にする。その後、$x = -1$、$y = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ のときの $A$ の値を求める。

1. 問題の内容

整式 $A = 6x^2 + 5xy + y^2 + 2x - y - 20$ を因数分解し、$A = (Ax + y + B)(Cx + y - D)$ の形にする。その後、$x = -1$、$y = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ のときの $A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A = 6x^2 + 5xy + y^2 + 2x - y - 20$ を因数分解する。

$6x^2 + 5xy + y^2 = (2x + y)(3x + y)$ となることに着目し、

$A = (2x + y + a)(3x + y + b)$ とおく。展開すると

$A = 6x^2 + 5xy + y^2 + (3a + 2b)x + (a + b)y + ab$

これが $6x^2 + 5xy + y^2 + 2x - y - 20$ と一致するので、

$3a + 2b = 2$

$a + b = -1$

$ab = -20$

この連立方程式を解く。

$b = -1 - a$ なので、$3a + 2(-1 - a) = 2$ より $a = 4$。

したがって、$b = -5$。

$ab = 4(-5) = -20$ であり、条件を満たす。

よって、$A = (2x + y + 4)(3x + y - 5)$

次に、$x = -1$、$y = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ のときの $A$ の値を計算する。

$y = \frac{2}{3 - \sqrt{7}} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{2} = 3 + \sqrt{7}$

$2x + y + 4 = 2(-1) + (3 + \sqrt{7}) + 4 = -2 + 3 + \sqrt{7} + 4 = 5 + \sqrt{7}$

$3x + y - 5 = 3(-1) + (3 + \sqrt{7}) - 5 = -3 + 3 + \sqrt{7} - 5 = -5 + \sqrt{7}$

$A = (5 + \sqrt{7})(-5 + \sqrt{7}) = (\sqrt{7} + 5)(\sqrt{7} - 5) = (\sqrt{7})^2 - 5^2 = 7 - 25 = -18$

3. 最終的な答え

$A = (2x + y + 4)(3x + y - 5)$

$A = -18$