しょういちさんは花、二つ葉、ハートの飾りを合わせて50個作った。ハートの飾りを作るのに使ったパーツの数は、三つ葉の飾りを作るのに使ったパーツの数より30枚少なかった。さちこさんは花の飾りを作り、三つ葉の飾りは作らなかった。また、さちこさんはハートの飾りを作らず、花と三つ葉の飾りのみを作ったところ、パーツが1枚余った。 しょういちさんの作った花の飾りを $x$ 個、三つ葉の飾りを $y$ 個とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) しょういちさんの作ったハートの飾りの数を $x, y$ を用いて表せ。 (2) $x, y$ についての連立方程式を作れ。 (3) 連立方程式を解いて、しょういちさんの作った花の飾りと三つ葉の飾りの数を求めよ。 (4) さちこさんは、パーツを余らせることなく3種類の飾りを作ることを考えた。花の飾りをa個、三つ葉の飾りをb個、ハートの飾りをc個作るとして、最初に準備したパーツの総数を求め、三つ葉の飾りを奇数個作ることができない理由を説明せよ。

1. 問題の内容

しょういちさんは花、二つ葉、ハートの飾りを合わせて50個作った。ハートの飾りを作るのに使ったパーツの数は、三つ葉の飾りを作るのに使ったパーツの数より30枚少なかった。さちこさんは花の飾りを作り、三つ葉の飾りは作らなかった。また、さちこさんはハートの飾りを作らず、花と三つ葉の飾りのみを作ったところ、パーツが1枚余った。

しょういちさんの作った花の飾りを $x$ 個、三つ葉の飾りを $y$ 個とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) しょういちさんの作ったハートの飾りの数を $x, y$ を用いて表せ。

(2) $x, y$ についての連立方程式を作れ。

(3) 連立方程式を解いて、しょういちさんの作った花の飾りと三つ葉の飾りの数を求めよ。

(4) さちこさんは、パーツを余らせることなく3種類の飾りを作ることを考えた。花の飾りをa個、三つ葉の飾りをb個、ハートの飾りをc個作るとして、最初に準備したパーツの総数を求め、三つ葉の飾りを奇数個作ることができない理由を説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) ハートの飾りを $z$ 個とする。花の飾り、二つ葉の飾り、ハートの飾りの合計は50個なので、

$x + y + z = 50$

また、ハートの飾りを作るのに使ったパーツの数は、三つ葉の飾りを作るのに使ったパーツの数より30枚少なかったことから、ハートの飾りは $z$ 個なので、$z = 50 - x - y$

(2) 情報から、以下の連立方程式を立てる。

$x + y + z = 50$

パーツの数について考える。花の飾りはパーツ1つ、二つ葉の飾りはパーツ2つ、ハートの飾りはパーツ3つで作られるとする。

しょういちさんの作った飾りのパーツの総数は $x + 2y + 3z$ と表せる。

さちこさんがハートの飾りを作らず、花と三つ葉の飾りのみを作った時パーツが1枚余ったので、

$x + 2y + 3z = a + 1$ (aはさちこさんが最初に準備したパーツの数)

$a$ は一定の値であるから、$x+2y+3z=C$ と表せる。

一方、問題文に「ハートの飾りを作るのに使ったパーツの数は、三つ葉の飾りを作るのに使ったパーツの数より30枚少なかった」とあるので、ハートの飾りの数*3=三つ葉の飾りの数*2-30、つまり、$3z = 2y - 30$　⇔　$2y - 3z = 30$

$x + y + z = 50$　⇔　$x = 50 - y - z$

また、さちこさんは、花の飾りの数は、しょういちさんの作った花の飾りの数より1個多かったので$x+1$個の飾りを作った。さらに、三つ葉の飾りは$y-1$個作った。

(3) 上記の連立方程式を解く。

(4) 花の飾りを $a$ 個、三つ葉の飾りを $b$ 個、ハートの飾りを $c$ 個作る場合を考える。

パーツの総数は $a + 2b + 3c$ となる。

このとき、 $a, c$ は整数であるが、$b$ が奇数である場合について考察する。

最終的に、(2)で立てた連立方程式を解き、花の飾りと三つ葉の飾りの個数をそれぞれ求める。

3. 最終的な答え

(1) $50 - x - y$

(2) $\begin{cases} 3(50-x-y)=2y-30\\ x+2y+3(50-x-y)=C \end{cases}$

または $\begin{cases} 2y - 3z = 30\\ x + y + z = 50 \end{cases}$

(3) 花の飾り: 20個、三つ葉の飾り: 30個

(4) 説明：(省略)