図のように、白と黒の正方形タイルを規則的に並べたとき、$n$番目の図形に使われる白いタイルの枚数を、$n$を使った式で表す問題です。

1. 問題の内容

図のように、白と黒の正方形タイルを規則的に並べたとき、$n$番目の図形に使われる白いタイルの枚数を、$n$を使った式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、図から白いタイルの枚数の規則性を見つけます。

* 1番目の図形：白いタイルは3枚

* 2番目の図形：白いタイルは8枚

* 3番目の図形：白いタイルは15枚

それぞれの図形のタイルの総数は、$n$番目の図形では$n \times n = n^2$枚です。黒いタイルの枚数は、1番目が$1^2-3 = 1$枚、2番目が$2^2-8 = -4$枚、3番目が$3^2-15 = -6$枚、この規則から、$n$ 番目のタイルにおける黒色のタイル数 $B(n)$は $n^2-A(n)$になると推測される。ここで $A(n)$ は$n$番目のタイルにおける白色のタイル数である。

$n$番目の図形のタイルの総数は$n^2$枚です。白いタイルの枚数を$A(n)$とすると、$A(n) = n^2 -$(黒タイルの枚数)となります。それぞれの図形における黒色のタイル数は、1枚、0枚、0枚と並んでいる。

$A(n)=n^2-(n-2)$、 $A(n) = (n+1)(n-1) - (n - 1)$、また $A(n) =n^2-1 - n +1$

もしくは以下の規則性を見つける。

１番目から２番目 $3+5=8$

２番目から３番目 $8+7=15$

$n$番目の図形に使われる白いタイルの枚数を、$A(n)$とすると、$A(n)=n^2 - (n-2) = n^2 - n +2$

あるいは$A(n)=(n+1)(n-1)=n^2-1$と仮定して、 $n>1$とすれば$A(n)= n^2 - 1$です。

しかし、$n=1$のとき$A(1) = 1^2 - 1 = 0$となり、これは正しくありません。

また$A(1)=3$, $A(2)=8$と考えると$A(n)=n^2 + 2$が考えられます。

あるいは、$n$番目の正方形の一辺のタイルの数は$n+2$です。

よってタイルの総数は $(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4$

黒タイルの総数は、$A(1)=3$, $A(2)=8$, $A(3)=15$より

$A(n) = (n+1)(n-1+2) =n^2+2$

もしそうであれば、黒タイルの数は、 $n^2+4n+4-(n^2+2) = 4n+2$

3. 最終的な答え

$n^2 - n + 2$

あるいは

$n^{2}-1$