与えられた3x3行列 $Q$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める問題です。 与えられた行列は以下の通りです。 $Q = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 3 & 7 & -8 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 $Q$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める問題です。

与えられた行列は以下の通りです。

$Q = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 3 & 7 & -8 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の逆行列を求めるには、いくつかの方法があります。ここでは、余因子行列を用いた方法で計算します。

(1) 行列式の計算:

行列 $Q$ の行列式 $|Q|$ を計算します。

$|Q| = 5(7 \cdot 5 - (-8) \cdot 3) - 2(3 \cdot 5 - (-8) \cdot 0) + 3(3 \cdot 3 - 7 \cdot 0) = 5(35 + 24) - 2(15 - 0) + 3(9 - 0) = 5(59) - 2(15) + 3(9) = 295 - 30 + 27 = 292$

したがって、$|Q| = 292$

(2) 余因子行列の計算:

余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (7 \cdot 5 - (-8) \cdot 3) = 35 + 24 = 59$

$C_{12} = -(3 \cdot 5 - (-8) \cdot 0) = -(15 - 0) = -15$

$C_{13} = (3 \cdot 3 - 7 \cdot 0) = 9 - 0 = 9$

$C_{21} = -(2 \cdot 5 - 3 \cdot 3) = -(10 - 9) = -1$

$C_{22} = (5 \cdot 5 - 3 \cdot 0) = 25 - 0 = 25$

$C_{23} = -(5 \cdot 3 - 2 \cdot 0) = -(15 - 0) = -15$

$C_{31} = (2 \cdot (-8) - 3 \cdot 7) = -16 - 21 = -37$

$C_{32} = -(5 \cdot (-8) - 3 \cdot 3) = -(-40 - 9) = 49$

$C_{33} = (5 \cdot 7 - 2 \cdot 3) = 35 - 6 = 29$

したがって、余因子行列 $C$ は以下のようになります。

$C = \begin{bmatrix} 59 & -15 & 9 \\ -1 & 25 & -15 \\ -37 & 49 & 29 \end{bmatrix}$

(3) 転置行列の計算:

余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ (随伴行列) を計算します。

$C^T = \begin{bmatrix} 59 & -1 & -37 \\ -15 & 25 & 49 \\ 9 & -15 & 29 \end{bmatrix}$

(4) 逆行列の計算:

逆行列 $Q^{-1}$ は、随伴行列 $C^T$ を行列式 $|Q|$ で割ることで求められます。

$Q^{-1} = \frac{1}{|Q|} C^T = \frac{1}{292} \begin{bmatrix} 59 & -1 & -37 \\ -15 & 25 & 49 \\ 9 & -15 & 29 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{59}{292} & -\frac{1}{292} & -\frac{37}{292} \\ -\frac{15}{292} & \frac{25}{292} & \frac{49}{292} \\ \frac{9}{292} & -\frac{15}{292} & \frac{29}{292} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{59}{292} & -\frac{1}{292} & -\frac{37}{292} \\ -\frac{15}{292} & \frac{25}{292} & \frac{49}{292} \\ \frac{9}{292} & -\frac{15}{292} & \frac{29}{292} \end{bmatrix}$