実数 $a$, $b$ に対して、3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ に対して、3次方程式 $x^3 + x^2 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$1+i$ が解なので、$1-i$ も解である（係数が実数なので）。

$x^3 + x^2 + ax + b = 0$ の3つの解を $1+i$, $1-i$, $\alpha$ とすると、解と係数の関係より

$(1+i) + (1-i) + \alpha = -1$

$(1+i)(1-i) + (1+i)\alpha + (1-i)\alpha = a$

$(1+i)(1-i)\alpha = -b$

最初の式から

$2 + \alpha = -1$

$\alpha = -3$

2番目の式から

$(1 - i^2) + \alpha + i\alpha + \alpha -i\alpha = a$

$2 + 2\alpha = a$

$2 + 2(-3) = a$

$a = -4$

3番目の式から

$(1-i^2)\alpha = -b$

$2\alpha = -b$

$2(-3) = -b$

$b = 6$

したがって、$a = -4$, $b = 6$, 他の解は $-3$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 6$

他の解: $-3$