次の不等式を解きます。 $|x-1| + 2|x+2| > 5$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$|x-1| + 2|x+2| > 5$

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行います。絶対値の中身が0となる $x$ の値は $x = 1$ と $x = -2$ です。したがって、$x < -2$, $-2 \le x < 1$, $x \ge 1$ の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < -2$ のとき

$x - 1 < 0$ かつ $x + 2 < 0$ なので、

$-(x - 1) + 2(-(x + 2)) > 5$

$-x + 1 - 2x - 4 > 5$

$-3x - 3 > 5$

$-3x > 8$

$x < -\frac{8}{3}$

この条件と $x < -2$ の共通範囲は $x < -\frac{8}{3}$ です。

(ii) $-2 \le x < 1$ のとき

$x - 1 < 0$ かつ $x + 2 \ge 0$ なので、

$-(x - 1) + 2(x + 2) > 5$

$-x + 1 + 2x + 4 > 5$

$x + 5 > 5$

$x > 0$

この条件と $-2 \le x < 1$ の共通範囲は $0 < x < 1$ です。

(iii) $x \ge 1$ のとき

$x - 1 \ge 0$ かつ $x + 2 > 0$ なので、

$(x - 1) + 2(x + 2) > 5$

$x - 1 + 2x + 4 > 5$

$3x + 3 > 5$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

この条件と $x \ge 1$ の共通範囲は $x \ge 1$ です。

したがって、(i), (ii), (iii) の結果を合わせると、$x < -\frac{8}{3}$ または $0 < x$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{8}{3}$ または $0 < x$