与えられた4次多項式 $P(x) = -x^4 + 3x^3 + 5x^2 - 12x - 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた4次多項式 $P(x) = -x^4 + 3x^3 + 5x^2 - 12x - 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ の因数を見つけるために、整数解の候補を試します。定数項は-4なので、候補は $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ です。

$x = -1$ を試すと、

$P(-1) = -(-1)^4 + 3(-1)^3 + 5(-1)^2 - 12(-1) - 4 = -1 - 3 + 5 + 12 - 4 = 9$ となり、0ではありません。

$x = 1$ を試すと、

$P(1) = -(1)^4 + 3(1)^3 + 5(1)^2 - 12(1) - 4 = -1 + 3 + 5 - 12 - 4 = -9$ となり、0ではありません。

$x = -2$ を試すと、

$P(-2) = -(-2)^4 + 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - 12(-2) - 4 = -16 - 24 + 20 + 24 - 4 = 0$ となり、$x = -2$ は解です。

したがって、$P(x)$ は $(x + 2)$ を因数に持ちます。

次に、$x = -2$ で組み立て除法を行います。

```

-1 3 5 -12 -4

-2 2 -10 10 4

-1 5 -5 -2 0

```

したがって、$P(x) = (x + 2)(-x^3 + 5x^2 - 5x - 2)$ となります。

$Q(x) = -x^3 + 5x^2 - 5x - 2$ に対して、再び整数解の候補を試します。

$Q(-1) = -(-1)^3 + 5(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 1 + 5 + 5 - 2 = 9$

$Q(1) = -(1)^3 + 5(1)^2 - 5(1) - 2 = -1 + 5 - 5 - 2 = -3$

$x = 2$ を試すと、

$Q(2) = -(2)^3 + 5(2)^2 - 5(2) - 2 = -8 + 20 - 10 - 2 = 0$ となり、$x = 2$ は解です。

したがって、$Q(x)$ は $(x - 2)$ を因数に持ちます。

次に、$x = 2$ で組み立て除法を行います。

```

-1 5 -5 -2

2 -2 6 2

-1 3 1 0

```

したがって、$Q(x) = (x - 2)(-x^2 + 3x + 1)$ となります。

したがって、$P(x) = (x + 2)(x - 2)(-x^2 + 3x + 1)$ となります。

$-x^2 + 3x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(1)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{-2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ です。

したがって、$P(x) = -(x + 2)(x - 2)(x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$ となります。

$P(x) = (x+2)(x-2)(-x^2 + 3x + 1)$

3. 最終的な答え

$P(x) = (x + 2)(x - 2)(-x^2 + 3x + 1)$

または

$P(x) = -(x + 2)(x - 2)(x^2 - 3x - 1)$