整式 $f(x)$ を $x+5$ で割った余りが $-11$ であり、$ (x+2)^2$ で割った余りが $x+3$ であるとき、$f(x)$ を $ (x+5)(x+2)^2$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ を $x+5$ で割った余りが $-11$ であり、$(x+2)^2$ で割った余りが $x+3$ であるとき、$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割った余りを $ax^2 + bx + c$ と置きます。

割る式が3次式なので、余りは2次以下の式になります。

$f(x)$ は次のように表せます。

$f(x) = (x+5)(x+2)^2Q(x) + ax^2 + bx + c$

$f(x)$ を $x+5$ で割った余りが $-11$ なので、剰余の定理より、

$f(-5) = -11$

また、$f(x)$ を $(x+2)^2$ で割った余りが $x+3$ なので、

$f(x) = (x+2)^2Q_1(x) + x+3$

$f(-2) = -2+3 = 1$

上記の2つの条件から、$a, b, c$ を求めます。

$f(-5) = a(-5)^2 + b(-5) + c = 25a - 5b + c = -11$

$f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c = 1$

$ax^2+bx+c$ を $(x+2)^2$で割った余りが$x+3$になることを利用します。

$ax^2+bx+c = a(x+2)^2+x+3 = a(x^2+4x+4) + x+3 = ax^2 + (4a+1)x + 4a+3$

したがって、$b = 4a+1$, $c = 4a+3$となります。

$25a - 5(4a+1) + (4a+3) = -11$

$25a - 20a - 5 + 4a + 3 = -11$

$9a - 2 = -11$

$9a = -9$

$a = -1$

$b = 4a+1 = 4(-1)+1 = -3$

$c = 4a+3 = 4(-1)+3 = -1$

したがって、余りは $-x^2 - 3x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-x^2 - 3x - 1$