Aさんと弟が自宅から学校まで歩いて通っている。Aさんは忘れ物に気づき自宅に戻り、再び学校に向かった。グラフは、Aさんが家を出発してからの時間 $x$ 分後の自宅からの距離 $y$ mを表している。 (1) Aさんが忘れ物に気づくまでの速さ(分速)を求める。 (2) 指定された $x$ の変域における直線の式を求める。 (3) 弟がAさんの忘れ物に気づくまでの速さで出発したとき、Aさんが弟に追いつくのは、Aさんが最初に出発してから何分後か求める。

1. 問題の内容

Aさんと弟が自宅から学校まで歩いて通っている。Aさんは忘れ物に気づき自宅に戻り、再び学校に向かった。グラフは、Aさんが家を出発してからの時間 $x$ 分後の自宅からの距離 $y$ mを表している。

(1) Aさんが忘れ物に気づくまでの速さ(分速)を求める。

(2) 指定された $x$ の変域における直線の式を求める。

(3) 弟がAさんの忘れ物に気づくまでの速さで出発したとき、Aさんが弟に追いつくのは、Aさんが最初に出発してから何分後か求める。

2. 解き方の手順

(1) 忘れ物に気づくまでの速さを求める。

グラフより、Aさんは6分で480m進んでいる。

速さ＝距離÷時間なので、速さ = 480m ÷ 6分 = 80 m/分

(2) それぞれの変域における直線の式を求める。

① $0 \leq x \leq 6$:

原点(0,0)と(6,480)を通る直線。傾きは $480/6 = 80$。切片は0なので、$y = 80x$。

② $6 \leq x \leq 10$:

(6,480)と(10,0)を通る直線。傾きは $(0-480)/(10-6) = -480/4 = -120$。

$y = -120x + b$ に (10,0)を代入して、$0 = -120 \cdot 10 + b$。よって、$b = 1200$。

$y = -120x + 1200$。

③ $10 \leq x \leq 15$:

$x$軸上の線なので、$y=0$

④ $15 \leq x \leq 27$:

(15,0)と(27,1200)を通る直線。傾きは $(1200-0)/(27-15) = 1200/12 = 100$。

$y = 100x + b$ に (15,0)を代入して、$0 = 100 \cdot 15 + b$。よって、$b = -1500$。

$y = 100x - 1500$。

(3) 弟は13分後に出発し、速さは80 m/分である。

Aさんが弟に追いつく時間を $t$ 分後とする(Aさんの出発からの時間)。弟は $t-13$ 分歩いている。

Aさんの出発から15分後から追いつく可能性があるので、$t \geq 15$

Aさんの位置は $y = 100t - 1500$ (ただし、$t \geq 15$)

弟の位置は $80(t - 13)$ (ただし、$t \geq 13$)

$100t - 1500 = 80(t - 13)$

$100t - 1500 = 80t - 1040$

$20t = 460$

$t = 23$

3. 最終的な答え

(1) 80 m/分

(2) ① $y = 80x$

② $y = -120x + 1200$

③ $y = 0$

④ $y = 100x - 1500$

(3) 23分後