数列 $3^2 + 6^2 + \dots + (3n)^2$ の和を求める。

## 106の問題

1. 問題の内容

数列 $3^2 + 6^2 + \dots + (3n)^2$ の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の一般項を求める。数列の各項は $(3k)^2$ (ただし $k=1,2,\dots,n$)の形をしている。

したがって、数列の和は、

$\sum_{k=1}^{n} (3k)^2$

と表せる。

この式を整理すると、

$\sum_{k=1}^{n} (3k)^2 = \sum_{k=1}^{n} 9k^2 = 9 \sum_{k=1}^{n} k^2$

となる。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

であるから、

$9 \sum_{k=1}^{n} k^2 = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2}$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3n(n+1)(2n+1)}{2}$

## 107の問題

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n+1)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

数列の一般項は $k(2k+1)$ (ただし $k=1,2,\dots,n$) と表せる。

したがって、数列の和は、

$\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)$

と表せる。

この式を整理すると、

$\sum_{k=1}^{n} k(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

となる。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

であるから、

$2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{6}$ でくくると、

$\frac{n(n+1)}{6} [2(2n+1) + 3] = \frac{n(n+1)}{6} [4n + 2 + 3] = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$