画像の問題は、次の2つの数列の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1)$

1. 問題の内容

画像の問題は、次の2つの数列の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1)$

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ を計算します。

まず、シグマを分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 3$

次に、定数をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 3 = 2\sum_{k=1}^{n} k + 3\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入します。

$2\sum_{k=1}^{n} k + 3\sum_{k=1}^{n} 1 = 2\cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1) + 3n = n^2+n+3n = n^2+4n = n(n+4)$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1)$ を計算します。

まず、シグマを分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2-3k+1) = \sum_{k=1}^{n} 2k^2 - \sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、定数をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k^2 - \sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入します。

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1) + 6n}{6}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 6)}{6}$

$= \frac{n(2(2n^2+3n+1) - 9n - 9 + 6)}{6}$

$= \frac{n(4n^2+6n+2 - 9n - 3)}{6}$

$= \frac{n(4n^2-3n-1)}{6}$

$= \frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+4)$

(2) $\frac{n(4n+1)(n-1)}{6}$