与えられた複素数の分数 $\frac{2-i}{3-2i}$ を計算し、標準形 $a+bi$ で表す。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数 $\frac{2-i}{3-2i}$ を計算し、標準形 $a+bi$ で表す。

2. 解き方の手順

複素数の分数を計算するには、分母の共役複素数を分子と分母の両方に掛けます。

分母 $3-2i$ の共役複素数は $3+2i$ です。

したがって、次のように計算します。

$\frac{2-i}{3-2i} = \frac{2-i}{3-2i} \cdot \frac{3+2i}{3+2i} = \frac{(2-i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}$

分子を計算します：

$(2-i)(3+2i) = 2(3) + 2(2i) - i(3) - i(2i) = 6 + 4i - 3i - 2i^2 = 6 + i - 2(-1) = 6 + i + 2 = 8 + i$

分母を計算します：

$(3-2i)(3+2i) = 3(3) + 3(2i) - 2i(3) - 2i(2i) = 9 + 6i - 6i - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$

したがって、

$\frac{2-i}{3-2i} = \frac{8+i}{13} = \frac{8}{13} + \frac{1}{13}i$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{13} + \frac{1}{13}i$