縦の長さが $x$、横の長さが $3x$ の長方形がある。横を10%長くし、縦を10%短くしたとき、以下の問いに答えよ。 (1) 周囲の長さは何%変化するか。 (2) 面積は何%変化するか。

1. 問題の内容

縦の長さが $x$、横の長さが $3x$ の長方形がある。横を10%長くし、縦を10%短くしたとき、以下の問いに答えよ。

(1) 周囲の長さは何%変化するか。

(2) 面積は何%変化するか。

2. 解き方の手順

(1) 周囲の長さの変化について

元の長方形の周囲の長さは $2(x + 3x) = 8x$ である。

横を10%長くすると $3x \times 1.1 = 3.3x$

縦を10%短くすると $x \times 0.9 = 0.9x$

新しい長方形の周囲の長さは $2(0.9x + 3.3x) = 2(4.2x) = 8.4x$

変化の割合は $\frac{8.4x - 8x}{8x} = \frac{0.4x}{8x} = \frac{0.4}{8} = 0.05$

したがって、周囲の長さは5%長くなる。

(2) 面積の変化について

元の長方形の面積は $x \times 3x = 3x^2$ である。

新しい長方形の面積は $0.9x \times 3.3x = 2.97x^2$ である。

変化の割合は $\frac{2.97x^2 - 3x^2}{3x^2} = \frac{-0.03x^2}{3x^2} = -0.01$

したがって、面積は1%小さくなる。

3. 最終的な答え

(1) 周囲の長さは5%長くなる。

(2) 面積は1%小さくなる。