問題12の(1)と(2)の式を展開する問題です。 (1) $(x+1)(x+4)(x-1)(x-4)$ (2) $(x-3y)^2 (x+3y)^2$

1. 問題の内容

問題12の(1)と(2)の式を展開する問題です。

(1) $(x+1)(x+4)(x-1)(x-4)$

(2) $(x-3y)^2 (x+3y)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積の組み合わせを工夫します。$(x+1)(x-1)$と$(x+4)(x-4)$をそれぞれ計算します。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x+4)(x-4) = x^2 - 16$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - 1)(x^2 - 16) = x^4 - 16x^2 - x^2 + 16 = x^4 - 17x^2 + 16$

(2)

$(x-3y)^2$と$(x+3y)^2$をそれぞれ計算します。

$(x-3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2$

$(x+3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - 6xy + 9y^2)(x^2 + 6xy + 9y^2) = ((x^2+9y^2)-6xy)((x^2+9y^2)+6xy)$

これは和と差の積の形なので、

$(x^2+9y^2)^2 - (6xy)^2 = x^4 + 18x^2y^2 + 81y^4 - 36x^2y^2 = x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$

別の解き方として、

$(x-3y)^2 (x+3y)^2 = ((x-3y)(x+3y))^2$

と変形してから計算することもできます。

$(x-3y)(x+3y) = x^2 - 9y^2$

$(x^2 - 9y^2)^2 = x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 17x^2 + 16$

(2) $x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$