与えられた4次多項式 $P(x) = -x^4 + 3x^3 + 5x^2 - 12x - 4$ を因数分解すること。ただし、問題文中に $(x(a, b)) = (2,3)(-1,2)$、$(a, b) = (-1, 2)$ という記載があるが、これが何を意味しているのかが不明瞭である。しかし、多項式 $P(x)$ を因数分解するという問題文から、これらは何らかのヒントであると推測される。

1. 問題の内容

与えられた4次多項式 $P(x) = -x^4 + 3x^3 + 5x^2 - 12x - 4$ を因数分解すること。ただし、問題文中に $(x(a, b)) = (2,3)(-1,2)$、$(a, b) = (-1, 2)$ という記載があるが、これが何を意味しているのかが不明瞭である。しかし、多項式 $P(x)$ を因数分解するという問題文から、これらは何らかのヒントであると推測される。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ に $x = -1$ を代入してみる。

$P(-1) = -(-1)^4 + 3(-1)^3 + 5(-1)^2 - 12(-1) - 4 = -1 - 3 + 5 + 12 - 4 = 9 \neq 0$

次に、$P(x)$ に $x = 2$ を代入してみる。

$P(2) = -(2)^4 + 3(2)^3 + 5(2)^2 - 12(2) - 4 = -16 + 24 + 20 - 24 - 4 = 0$

したがって、$P(x)$ は $x-2$ を因数に持つ。

次に、$P(x)$ に $x=-2$を代入してみる。

$P(-2) = -(-2)^4 + 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - 12(-2) - 4 = -16 - 24 + 20 + 24 - 4 = 0$

したがって、$P(x)$ は $x+2$ を因数に持つ。

したがって、$P(x)$ は $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$ を因数に持つ。

$P(x)$ を $x^2-4$ で割ると、

$-x^4 + 3x^3 + 5x^2 - 12x - 4 = (x^2 - 4)(-x^2 + 3x + 1)$

次に、$-x^2 + 3x + 1 = 0$ となる $x$ を求める。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(1)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+4}}{-2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、 $-x^2+3x+1 = -(x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

$P(x) = -(x-2)(x+2)(x^2-3x-1)$

$P(x) = -(x-2)(x+2)(x^2-3x-1)$

$= -(x-2)(x+2)(x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

3. 最終的な答え

$P(x) = -(x-2)(x+2)(x^2-3x-1)$

または

$P(x) = -(x-2)(x+2)(x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$