(1) 関数 $y = -x^2$ について、定義域が $-3 \le x \le a$ のとき、値域が $-16 \le y \le b$ となる。定数 $a, b$ の値を求める。 (2) 関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) について、定義域が $-6 \le x \le 5$ のとき、値域が $b \le y \le 12$ となる。定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -x^2$ について、定義域が $-3 \le x \le a$ のとき、値域が $-16 \le y \le b$ となる。定数 $a, b$ の値を求める。

(2) 関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) について、定義域が $-6 \le x \le 5$ のとき、値域が $b \le y \le 12$ となる。定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 関数 $y = -x^2$ は上に凸なグラフである。

* 定義域が $-3 \le x \le a$ で、値域が $-16 \le y \le b$ であることから、最大値 $b$ は $x=0$ のときに取る。したがって、$b = -0^2 = 0$ である。

* 最小値は $-16$ である。$x=-3$ のとき $y = -(-3)^2 = -9$、$x=a$ のとき $y = -a^2$。$-a^2 = -16$ となるので、$a^2 = 16$ より $a = \pm 4$。定義域の条件 $-3 \le x \le a$ より、$-3 \le a$ である必要がある。また、$y=-x^2$のグラフより、$x=-3$の場合のyの値は-9であり、$-16 \le -9$であるので、$a$は$a=4$の場合の$y=-16$を与える必要がある。

したがって、$a = 4$。

(2)

* 関数 $y = ax^2$ は、$a>0$ のとき下に凸、$a<0$ のとき上に凸なグラフである。

* 定義域が $-6 \le x \le 5$ で、値域が $b \le y \le 12$ である。

* $y$ の最大値が $12$ であることから、これは $x = -6$ または $x=5$ のときに取る。

* $a>0$ とすると、yの最大値は$x = -6$でとると考えられるので、$y=ax^2 = 12$より、$36a = 12$。

* 従って、$a = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$。

* $a = \frac{1}{3}$のとき、$y = \frac{1}{3}x^2$。最小値 $b$ は $x=0$ のときに取るので、$b = \frac{1}{3} \times 0^2 = 0$。

* 値域が$0 \le y \le 12$を満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = 0$

(2) $a = \frac{1}{3}, b = 0$