2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + m + 8 = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a = 1$, $b = -4$, $c = m+8$ です。

したがって、

$D = (-4)^2 - 4(1)(m+8)$

$D = 16 - 4(m+8)$

$D = 16 - 4m - 32$

$D = -4m - 16$

実数解をもたない条件は $D < 0$ なので、

$-4m - 16 < 0$

この不等式を解きます。

$-4m < 16$

$m > -4$

3. 最終的な答え

$m > -4$