(2) 不等式 $|2x+1| \le a$ の解を求める。 (3) 不等式 $|2x+1| \le a$ を満たす整数 $x$ の個数を $N$ とする。$a=3$ のときの $N$ の値を求め、$a$ が $4, 5, 6, \dots$ と増加するとき、$N$ が初めて カ より大きくなる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(2) 不等式 $|2x+1| \le a$ の解を求める。

(3) 不等式 $|2x+1| \le a$ を満たす整数 $x$ の個数を $N$ とする。$a=3$ のときの $N$ の値を求め、$a$ が $4, 5, 6, \dots$ と増加するとき、$N$ が初めて カ より大きくなる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(2) 不等式 $|2x+1| \le a$ を解く。

絶対値の性質より、

$-a \le 2x+1 \le a$

各辺から1を引くと、

$-a-1 \le 2x \le a-1$

各辺を2で割ると、

$\frac{-a-1}{2} \le x \le \frac{a-1}{2}$

よって、$\frac{-1-a}{2} \le x \le \frac{-1+a}{2}$ となる。

(3) $a=3$ のとき、不等式は $\frac{-3-1}{2} \le x \le \frac{3-1}{2}$ となる。

$\frac{-4}{2} \le x \le \frac{2}{2}$

$-2 \le x \le 1$

この範囲の整数 $x$ は、-2, -1, 0, 1 の4個なので、$N = 4$ となる。

次に、$a$ が $4, 5, 6, \dots$ と増加するとき、$N$ が初めて 4 より大きくなる $a$ の値を求める。

$a=4$ のとき、$\frac{-4-1}{2} \le x \le \frac{4-1}{2}$、すなわち $\frac{-5}{2} \le x \le \frac{3}{2}$、つまり $-2.5 \le x \le 1.5$。整数解は -2, -1, 0, 1 の4個。

$a=5$ のとき、$\frac{-5-1}{2} \le x \le \frac{5-1}{2}$、すなわち $\frac{-6}{2} \le x \le \frac{4}{2}$、つまり $-3 \le x \le 2$。整数解は -3, -2, -1, 0, 1, 2 の6個。

$N$ は $a=5$ のときに初めて4より大きくなる。

3. 最終的な答え

(2) の答え：工 = 1, オ = 2。よって、$-\frac{1+a}{2} \le x \le \frac{-1+a}{2}$。

(3) の答え：カ = 4, キ = 5。