(1) 関数 $f(x) = |x| - |x-3|$ のグラフを描く。 (2) 不等式 $||x| - |x-3|| \geq 2$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = |x| - |x-3|$ のグラフを描く。

(2) 不等式 $||x| - |x-3|| \geq 2$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x| - |x-3|$ のグラフを描く。

まず、$|x|$と$|x-3|$の絶対値を外す場合分けを行う。

* $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、 $f(x) = -x - (3-x) = -3$

* $0 \leq x < 3$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、 $f(x) = x - (3-x) = 2x - 3$

* $x \geq 3$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-3| = x-3$ なので、 $f(x) = x - (x-3) = 3$

したがって、

$f(x) = \begin{cases} -3 & (x < 0) \\ 2x - 3 & (0 \leq x < 3) \\ 3 & (x \geq 3) \end{cases}$

この関数をグラフに描く。

(2) $||x| - |x-3|| \geq 2$ を解く。

(1)で求めた$f(x)$を用いて、$|f(x)| \geq 2$を解く。

$|f(x)| = \begin{cases} |-3| = 3 & (x < 0) \\ |2x - 3| & (0 \leq x < 3) \\ |3| = 3 & (x \geq 3) \end{cases}$

したがって、

$|f(x)| \geq 2$は、

$x < 0$ または $x \geq 3$のとき、$|f(x)| = 3 \geq 2$ となり常に成り立つ。

次に、$0 \leq x < 3$のとき、$|2x - 3| \geq 2$を考える。

$2x - 3 \geq 2$ または $2x - 3 \leq -2$

$2x \geq 5$ または $2x \leq 1$

$x \geq \frac{5}{2}$ または $x \leq \frac{1}{2}$

$0 \leq x < 3$の範囲で考えると、$\frac{5}{2} \leq x < 3$ または $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

したがって、すべての範囲を合わせると、

$x \leq \frac{1}{2}$ または $x \geq \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記参照

(2) $x \leq \frac{1}{2}$ または $x \geq \frac{5}{2}$