与えられた楕円の方程式 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ について、頂点、焦点、概形、長軸の長さ、短軸の長さを求め、選択肢から適切なものを選択する。

1. 問題の内容

与えられた楕円の方程式

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$

について、頂点、焦点、概形、長軸の長さ、短軸の長さを求め、選択肢から適切なものを選択する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた楕円の方程式を標準形と比較する。楕円の標準形は、

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

である。ここで、$a>b$の場合、$x$軸が長軸、$y$軸が短軸となる。また、$a<b$の場合は、$y$軸が長軸、$x$軸が短軸となる。

与えられた方程式 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ において、$a^2 = 16$、$b^2 = 9$であるから、$a = 4$、$b = 3$となる。

したがって、$x$軸が長軸、$y$軸が短軸であり、長軸の長さは$2a = 2 \times 4 = 8$、短軸の長さは$2b = 2 \times 3 = 6$である。

頂点は、$x$軸上に $(\pm a, 0) = (\pm 4, 0)$、$y$軸上に $(0, \pm b) = (0, \pm 3)$となる。

焦点の座標は$(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$で与えられる。

$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$

したがって、焦点の座標は$(\pm \sqrt{7}, 0)$となる。

これらの情報を基に選択肢を比較すると、選択肢1が条件を満たしている。

3. 最終的な答え

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