図のように、$\triangle ABC$ があり、$BC$ に平行な線分 $DE$ と $FG$ によって3つの部分に分けられています。$AD = DF = FB$ のとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) $\triangle ADE$ と四角形 $DFGE$ の面積比を求めます。 (2) $\triangle ADE$ の面積が $10 cm^2$ のとき、四角形 $FBCG$ の面積を求めます。

## 50番の問題

1. 問題の内容

図のように、$\triangle ABC$ があり、$BC$ に平行な線分 $DE$ と $FG$ によって3つの部分に分けられています。$AD = DF = FB$ のとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) $\triangle ADE$ と四角形 $DFGE$ の面積比を求めます。

(2) $\triangle ADE$ の面積が $10 cm^2$ のとき、四角形 $FBCG$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

**(1) $\triangle ADE$ と四角形 $DFGE$ の面積比**

まず、$\triangle ADE$, $\triangle AFG$, $\triangle ABC$ が互いに相似であることを確認します。

$AD = DF = FB$ より、$AD:AF:AB = 1:2:3$ であることがわかります。

相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しいので、各三角形の面積比は以下のようになります。

$\triangle ADE : \triangle AFG : \triangle ABC = 1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9$

したがって、$\triangle AFG = 4 \times \triangle ADE$ であり、$DFGE = \triangle AFG - \triangle ADE = 4\triangle ADE - \triangle ADE = 3\triangle ADE$ となります。

よって、$\triangle ADE : DFGE = 1 : 3$ です。

**(2) 四角形 $FBCG$ の面積**

$\triangle ADE = 10 cm^2$ であるとき、$\triangle ABC = 9 \times \triangle ADE = 9 \times 10 cm^2 = 90 cm^2$ です。

$\triangle AFG = 4 \times \triangle ADE = 4 \times 10 cm^2 = 40 cm^2$

四角形 $FBCG = \triangle ABC - \triangle AFG = 90 cm^2 - 40 cm^2 = 50 cm^2$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ADE : DFGE = 1 : 3$

(2) 四角形 $FBCG$ の面積は $50 cm^2$ です。