三角形ABCがあり、BCに平行な線分DEとFGで3つの部分に分割されています。AD=DF=FBのとき、以下の問いに答えます。 (1) 三角形ADEと四角形DFGEの面積の比を求めます。 (2) 三角形ADEの面積が10 cm²のとき、四角形FBCGの面積を求めます。

## 問題50の解答

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、BCに平行な線分DEとFGで3つの部分に分割されています。AD=DF=FBのとき、以下の問いに答えます。

(1) 三角形ADEと四角形DFGEの面積の比を求めます。

(2) 三角形ADEの面積が10 cm²のとき、四角形FBCGの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ADEと四角形DFGEの面積の比

まず、三角形ADE、三角形AFG、三角形ABCが相似であることを確認します。なぜなら、DE//FG//BCだからです。

相似比を考えます。AD=DF=FBなので、AD:AF:AB = 1:2:3となります。

相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しくなります。

したがって、三角形ADE:三角形AFG:三角形ABC の面積比は 1²:2²:3² = 1:4:9となります。

三角形ADEの面積を1とすると、三角形AFGの面積は4、三角形ABCの面積は9となります。

四角形DFGEの面積は、三角形AFGの面積から三角形ADEの面積を引いたものなので、4 - 1 = 3となります。

したがって、三角形ADEと四角形DFGEの面積比は 1:3 です。

(2) 四角形FBCGの面積

三角形ADEの面積は10 cm²です。

三角形ABCの面積は、三角形ADEの面積の9倍なので、9 * 10 = 90 cm²です。

四角形AFGEの面積は三角形ADEの面積の4倍なので、 4 * 10 = 40 cm²です。

四角形FBCGの面積は、三角形ABCの面積から三角形AFGの面積を引いたものなので、90 - 40 = 50 cm²です。

3. 最終的な答え

(1) 三角形ADEと四角形DFGEの面積比は **1:3** です。

(2) 四角形FBCGの面積は **50 cm²** です。