与えられた3つの問題を解きます。 (1) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 + (2 - \sqrt{6})^2$ を計算します。 (2) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ の頂点が $(1, 2)$ のとき、$a$ と $b$ の値を求めます。 (3) 負の数 $x$ を2乗して3倍した数が、$x$ を2倍して1を加えた数に等しいとき、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの問題を解きます。

(1) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 + (2 - \sqrt{6})^2$ を計算します。

(2) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ の頂点が $(1, 2)$ のとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

(3) 負の数 $x$ を2乗して3倍した数が、$x$ を2倍して1を加えた数に等しいとき、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 + (2 - \sqrt{6})^2$ を展開して計算します。

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 3 + 4\sqrt{6} + 8 = 11 + 4\sqrt{6}$

$(2 - \sqrt{6})^2 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$

$(11 + 4\sqrt{6}) + (10 - 4\sqrt{6}) = 11 + 10 + 4\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 21$

(2) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ の頂点が $(1, 2)$ であることから、$y = (x - 1)^2 + 2$ と表せます。

$y = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2 = x^2 - 2x + 3$

したがって、$a = -2$、$b = 3$ となります。

(3) 問題文を式で表すと、$3x^2 = 2x + 1$ となります。

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x + 1)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}$ または $x = 1$

$x$ は負の数なので、$x = -\frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 21

(2) $a = -2$, $b = 3$

(3) $x = -\frac{1}{3}$