問題文から、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ はどちらも直角三角形であり、$AB = 4$, $BC = 3$, $\angle ABC = 90^\circ$, $EF = 3$, $DF = 6$, $\angle EFD = 90^\circ$ が与えられています。これら2つの三角形を辺 $BC$ と $EF$ が一致するように重ねて図形 $K$ を作ります。$AC$ と $BD$ の交点を $G$ とします。 問1：線分 $AG$ の長さを求めます。 問2：図形 $K$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

問題文から、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ はどちらも直角三角形であり、$AB = 4$, $BC = 3$, $\angle ABC = 90^\circ$, $EF = 3$, $DF = 6$, $\angle EFD = 90^\circ$ が与えられています。これら2つの三角形を辺 $BC$ と $EF$ が一致するように重ねて図形 $K$ を作ります。$AC$ と $BD$ の交点を $G$ とします。

問1：線分 $AG$ の長さを求めます。

問2：図形 $K$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

問1：

まず、$AC$の長さを求めます。$\triangle ABC$ は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$。したがって、$AC = \sqrt{25} = 5$です。

次に、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ が相似であることを確認します。$\frac{AB}{DF} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{3} = 1$であり、相似ではありません。

$AC$と$BD$の交点$G$について考えます。

$BC$と$EF$を重ねているため、$B$と$E$, $C$と$F$はそれぞれ同じ点とみなせます。

三角形の相似に注目して解きます。

$\triangle ABG$と$\triangle CDG$は相似ではありません。

メネラウスの定理を用いることを考えます。

$\triangle BCD$に対して、直線$AG$を用いると、

$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DE}{EB} = 1$

図形を座標平面に配置して、$B$を原点(0,0)に置きます。

$A=(0,4)$, $C=(3,0)$, $D=(3,6)$となります。

直線ACの方程式は$y = -\frac{4}{3}x + 4$

直線BDの方程式は$y = 2x$

これらを連立して交点Gの座標を求めます。

$2x = -\frac{4}{3}x + 4$

$6x = -4x + 12$

$10x = 12$

$x = \frac{6}{5}$

$y = 2x = \frac{12}{5}$

よって$G = (\frac{6}{5}, \frac{12}{5})$

$AG = \sqrt{(\frac{6}{5}-0)^2 + (\frac{12}{5}-4)^2} = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{36+64}{25}} = \sqrt{\frac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2$

問2：

図形 $K$ の面積は、$\triangle ABC$ の面積と $\triangle DEF$ の面積の和です。

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ です。

$\triangle DEF$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot EF \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ です。

したがって、図形 $K$ の面積は $6 + 9 = 15$ です。 重なっている部分の面積を引く必要があります。重なっているのは $BC$と$EF$です。面積は6+9=15。重ねた$EF$の長さに等しい辺$BC$が共通だから、面積を引く必要はありません。

ただし、$BD$が$AC$と交わるため、$\triangle ABC$と$\triangle DBC$の面積の合計ではありません。

台形$ABDE$の面積を求めます。

台形$ABDE$は、上底$AB$=4、下底$DE$=6、高さ$BC$=3の台形です。

面積は$\frac{1}{2} (AB+DE)BC = \frac{1}{2}(4+6)3 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$

3. 最終的な答え

問1：b. 2

問2：e. 12