次の極限値を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ で表す問題です。ただし、$a \neq 0$ とし、$f(x)$ は微分可能とします。 (1) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h) - f(a)}{h}$ (2) $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(a+h)}{a+h} - \frac{f(a)}{a} \right\}$

1. 問題の内容

次の極限値を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ で表す問題です。ただし、$a \neq 0$ とし、$f(x)$ は微分可能とします。

(1) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h) - f(a)}{h}$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(a+h)}{a+h} - \frac{f(a)}{a} \right\}$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

微分係数の定義 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を利用します。

まず、与えられた式を変形します。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h) - f(a)}{h} \cdot \frac{-2}{-2} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h) - f(a)}{-2h} \cdot (-2)$.

ここで、$k = -2h$ とおくと、$h \to 0$ のとき $k \to 0$ となるので、

$\lim_{k \to 0} \frac{f(a+k) - f(a)}{k} \cdot (-2) = f'(a) \cdot (-2) = -2f'(a)$.

(2) の解き方：

まず、与えられた式を通分します。

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(a+h)}{a+h} - \frac{f(a)}{a} \right\} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{a f(a+h) - (a+h)f(a)}{a(a+h)} \right\} = \lim_{h \to 0} \frac{a f(a+h) - af(a) - hf(a)}{h a (a+h)}$.

式を整理すると、

$\lim_{h \to 0} \frac{a(f(a+h) - f(a)) - hf(a)}{h a (a+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{a \frac{f(a+h) - f(a)}{h} - f(a)}{a(a+h)}$.

ここで、$h \to 0$ とすると、

$\frac{a f'(a) - f(a)}{a^2}$.

3. 最終的な答え

(1) $-2f'(a)$

(2) $\frac{a f'(a) - f(a)}{a^2}$