与えられた複数の式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

以下、各問題の解き方と答えを示します。

(1) $ax - ay$

共通因数 $a$ でくくります。

$ax - ay = a(x-y)$

(2) $4x^2y - xy$

共通因数 $xy$ でくくります。

$4x^2y - xy = xy(4x-1)$

(3) $35a^2b - 20ab^2$

共通因数 $5ab$ でくくります。

$35a^2b - 20ab^2 = 5ab(7a - 4b)$

(4) $x^2 - 10x + 16$

2数をかけて16、足して-10となる組み合わせを探します。それは-2と-8です。

$x^2 - 10x + 16 = (x-2)(x-8)$

(5) $a^2 + 7a - 78$

2数をかけて-78、足して7となる組み合わせを探します。それは13と-6です。

$a^2 + 7a - 78 = (a+13)(a-6)$

(6) $6x^2 - 18x - 60$

まず、共通因数6でくくります。

$6x^2 - 18x - 60 = 6(x^2 - 3x - 10)$

次に、$x^2 - 3x - 10$ を因数分解します。2数をかけて-10、足して-3となる組み合わせを探します。それは-5と2です。

$6(x^2 - 3x - 10) = 6(x-5)(x+2)$

(7) $x^2 - 14x + 49$

これは平方の公式 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ を使えます。

$x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2$

(8) $9y^2 + 6y + 1$

これも平方の公式 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ を使えます。

$9y^2 + 6y + 1 = (3y+1)^2$

(9) $m^2 - 64$

これは差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使えます。

$m^2 - 64 = (m+8)(m-8)$

(10) $81 - 16x^2$

これも差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使えます。

$81 - 16x^2 = (9+4x)(9-4x)$

(1) $(x+5)a + (x+5)$

共通因数 $(x+5)$ でくくります。

$(x+5)a + (x+5) = (x+5)(a+1)$

(2) $(x+y)^2 + (x+y) - 2$

$x+y = A$ と置くと

$A^2 + A - 2$ となります。

2数をかけて-2、足して1になる組み合わせを探します。それは2と-1です。

$A^2 + A - 2 = (A+2)(A-1)$

$A$ を $x+y$ に戻すと、

$(x+y+2)(x+y-1)$

(3) $2(a-1)^2 - 12(a-1) - 54$

まず、2でくくります。

$2[(a-1)^2 - 6(a-1) - 27]$

$a-1 = A$ と置くと、

$2[A^2 - 6A - 27]$

2数をかけて-27、足して-6になる組み合わせを探します。それは-9と3です。

$2(A-9)(A+3)$

$A$ を $a-1$ に戻すと、

$2(a-1-9)(a-1+3) = 2(a-10)(a+2)$

(4) $(2a+b)^2 - 36b^2$

これも差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使えます。

$(2a+b)^2 - 36b^2 = (2a+b)^2 - (6b)^2 = (2a+b+6b)(2a+b-6b) = (2a+7b)(2a-5b)$

3. 最終的な答え

(1) $a(x-y)$

(2) $xy(4x-1)$

(3) $5ab(7a - 4b)$

(4) $(x-2)(x-8)$

(5) $(a+13)(a-6)$

(6) $6(x-5)(x+2)$

(7) $(x-7)^2$

(8) $(3y+1)^2$

(9) $(m+8)(m-8)$

(10) $(9+4x)(9-4x)$

(1) $(x+5)(a+1)$

(2) $(x+y+2)(x+y-1)$

(3) $2(a-10)(a+2)$

(4) $(2a+7b)(2a-5b)$