## 問題11

## 問題11

1. 問題の内容

与えられた2次方程式について、2つの解の間に指定された関係があるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める問題です。

(1) $x^2 - mx + 32 = 0$、解の1つが他の解の2倍

(2) $x^2 - 10x + 3m = 0$、解の1つの2倍が他の解の3倍

(3) $x^2 - (m+2)x + 35 = 0$、解の差が2

(4) $x^2 - 30x + m = 0$、解の1つが他の解の2乗

## 解き方の手順

一般に、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、解と係数の関係から、

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

が成り立ちます。この関係と、与えられた解の間の関係式を使って $m$ の値と解を求めます。

(1) 解を $\alpha, 2\alpha$ とおくと、

$\alpha + 2\alpha = m$

$\alpha \cdot 2\alpha = 32$

$2\alpha^2 = 32$

$\alpha^2 = 16$

$\alpha = \pm 4$

$\alpha = 4$ のとき、 $m = 3\alpha = 12$。解は 4, 8。

$\alpha = -4$ のとき、 $m = 3\alpha = -12$。解は -4, -8。

(2) 解を $3\alpha, 2\alpha$ とおくと、

$3\alpha + 2\alpha = 10$

$3\alpha \cdot 2\alpha = 3m$

$5\alpha = 10$

$\alpha = 2$

$6\alpha^2 = 3m$

$6 \cdot 2^2 = 3m$

$24 = 3m$

$m = 8$

解は 6, 4。

(3) 解を $\alpha, \alpha + 2$ とおくと、

$\alpha + (\alpha + 2) = m + 2$

$\alpha (\alpha + 2) = 35$

$2\alpha + 2 = m + 2$

$\alpha(\alpha + 2) = 35$

$\alpha^2 + 2\alpha - 35 = 0$

$(\alpha + 7)(\alpha - 5) = 0$

$\alpha = -7, 5$

$\alpha = -7$ のとき、 $m = 2\alpha = -14$。解は -7, -5。

$\alpha = 5$ のとき、 $m = 2\alpha = 10$。解は 5, 7。

(4) 解を $\alpha, \alpha^2$ とおくと、

$\alpha + \alpha^2 = 30$

$\alpha \cdot \alpha^2 = m$

$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$

$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$

$\alpha = -6, 5$

$\alpha = -6$ のとき、 $m = \alpha^3 = -216$。解は -6, 36。

$\alpha = 5$ のとき、 $m = \alpha^3 = 125$。解は 5, 25。

## 最終的な答え

(1) $m=12$, 解: 4, 8 または $m=-12$, 解: -4, -8

(2) $m=8$, 解: 6, 4

(3) $m=-14$, 解: -7, -5 または $m=10$, 解: 5, 7

(4) $m=-216$, 解: -6, 36 または $m=125$, 解: 5, 25