与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を書き、行列の基本変形を用いて解を求め、解の自由度を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $x_1 + 2x_2 + x_3 = 1$ $2x_1 + 5x_2 + 4x_3 - 3x_4 = 3$ $-x_1 + x_2 + 6x_3 - 11x_4 = 3$ $-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 6x_4 = -3$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を書き、行列の基本変形を用いて解を求め、解の自由度を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$x_1 + 2x_2 + x_3 = 1$

$2x_1 + 5x_2 + 4x_3 - 3x_4 = 3$

$-x_1 + x_2 + 6x_3 - 11x_4 = 3$

$-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 6x_4 = -3$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を作成します。次に、行基本変形を用いて行列を簡約化し、連立一次方程式を解きます。最後に、解の自由度を求めます。

ステップ1：拡大係数行列の作成

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

2 & 5 & 4 & -3 & 3 \\

-1 & 1 & 6 & -11 & 3 \\

-2 & 4 & 5 & -6 & -3

\end{pmatrix}$

ステップ2：行基本変形による簡約化

1. 2行目から1行目の2倍を引く ($R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$)

2. 3行目に1行目を足す ($R_3 \leftarrow R_3 + R_1$)

3. 4行目に1行目の2倍を足す ($R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1$)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 2 & -3 & 1 \\

0 & 3 & 7 & -11 & 4 \\

0 & 8 & 7 & -6 & -1

\end{pmatrix}$

1. 3行目から2行目の3倍を引く ($R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2$)

2. 4行目から2行目の8倍を引く ($R_4 \leftarrow R_4 - 8R_2$)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 2 & -3 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & -9 & 18 & -9

\end{pmatrix}$

1. 4行目に3行目の9倍を足す ($R_4 \leftarrow R_4 + 9R_3$)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 2 & -3 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

1. 1行目から3行目を引く ($R_1 \leftarrow R_1 - R_3$)

2. 2行目から3行目の2倍を引く ($R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3$)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

1. 1行目から2行目の2倍を引く ($R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$)

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

ステップ3：解の表現

簡約化された行列から、以下の連立方程式が得られます。

$x_1 = 2$

$x_2 + x_4 = -1$

$x_3 - 2x_4 = 1$

$x_4 = t$ とすると、

$x_1 = 2$

$x_2 = -1 - t$

$x_3 = 1 + 2t$

$x_4 = t$

ステップ4：解の自由度

変数の数は4つで、独立な方程式の数は3つなので、解の自由度は $4 - 3 = 1$ です。

3. 最終的な答え

解は、$x_1 = 2, x_2 = -1 - t, x_3 = 1 + 2t, x_4 = t$ (tは任意の実数)と表されます。

解の自由度は1です。