行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & a \\ 1 & a & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$ のランクが2であるための $a$ に関する必要十分条件を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & a \\ 1 & a & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$ のランクが2であるための $a$ に関する必要十分条件を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ のランクが2であるということは、行列式が0であり、かつ2次の小行列式の中に0でないものが存在することである。

まず、行列式 $|A|$ を計算する。

$|A| = a(a-a^2) - (1-a^2) + a(a-a^2) = a^2 - a^3 - 1 + a^2 + a^2 - a^3 = -2a^3 + 3a^2 - 1$.

次に、$|A| = 0$ となる $a$ を求める。

$-2a^3 + 3a^2 - 1 = 0$

$2a^3 - 3a^2 + 1 = 0$

$(a-1)^2 (2a+1) = 0$

よって、$a = 1$ または $a = -\frac{1}{2}$.

$a = 1$ のとき、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ となり、rank $A = 1$.

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$ となる。このとき、例えば $\begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \neq 0$ であるので、rank $A = 2$.

3. 最終的な答え

したがって、rank $A = 2$ を満たすための $a$ に関する必要十分条件は、$a = -\frac{1}{2}$ である。