問題12では、与えられた多項式 $P(x)$ を指定された一次式で割ったときの余りを求めます。問題13では、与えられた3次方程式を解きます。

1. 問題の内容

問題12では、与えられた多項式 $P(x)$ を指定された一次式で割ったときの余りを求めます。問題13では、与えられた3次方程式を解きます。

2. 解き方の手順

問題12 (1) $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4$ を $x-3$ で割った余り

余りの定理より、$x-3=0$ となる $x=3$ を $P(x)$ に代入します。

$P(3) = (3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) + 4 = 27 + 18 - 9 + 4 = 40$

問題12 (2) $P(x) = 6x^3 + 5x^2 + 3$ を $x+2$ で割った余り

余りの定理より、$x+2=0$ となる $x=-2$ を $P(x)$ に代入します。

$P(-2) = 6(-2)^3 + 5(-2)^2 + 3 = 6(-8) + 5(4) + 3 = -48 + 20 + 3 = -25$

問題12 (3) $P(x) = 2x^3 - x^2 + 5x - 6$ を $2x-3$ で割った余り

$2x-3=0$ となる $x = \frac{3}{2}$ を $P(x)$ に代入します。

$P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^2 + 5(\frac{3}{2}) - 6 = 2(\frac{27}{8}) - \frac{9}{4} + \frac{15}{2} - 6 = \frac{27}{4} - \frac{9}{4} + \frac{30}{4} - \frac{24}{4} = \frac{27-9+30-24}{4} = \frac{24}{4} = 6$

問題12 (4) $P(x) = 8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$ を $2x+1$ で割った余り

$2x+1=0$ となる $x = -\frac{1}{2}$ を $P(x)$ に代入します。

$P(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - 10(-\frac{1}{2}) + 3 = 8(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + 5 + 3 = -1 + 1 + 5 + 3 = 8$

問題13 (1) $x^3 - 13x + 12 = 0$

$x=1$ を代入すると、$1 - 13 + 12 = 0$ なので、$x=1$ は解です。

$(x-1)$ で因数分解できます。

$x^3 - 13x + 12 = (x-1)(x^2 + x - 12) = (x-1)(x+4)(x-3) = 0$

よって、$x=1, -4, 3$

問題13 (2) $x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0$

$x=-1$ を代入すると、$-1 + 6 - 9 + 4 = 0$ なので、$x=-1$ は解です。

$(x+1)$ で因数分解できます。

$x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = (x+1)(x^2 + 5x + 4) = (x+1)(x+1)(x+4) = (x+1)^2(x+4) = 0$

よって、$x=-1, -4$

問題13 (3) $x^3 - x^2 - 2x - 12 = 0$

$x=3$ を代入すると、$27 - 9 - 6 - 12 = 0$ なので、$x=3$ は解です。

$(x-3)$ で因数分解できます。

$x^3 - x^2 - 2x - 12 = (x-3)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解くと、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$

よって、$x=3, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$

問題13 (4) $x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$

$x=-1$ を代入すると、$-1 + 5 - 3 - 1 = 0$ なので、$x=-1$ は解です。

$(x+1)$ で因数分解できます。

$x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = (x+1)(x^2 + 4x - 1) = 0$

$x^2 + 4x - 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

よって、$x=-1, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題12

(1) 40

(2) -25

(3) 6

(4) 8

問題13

(1) $x=1, -4, 3$

(2) $x=-1, -4$

(3) $x=3, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$

(4) $x=-1, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$