行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & a \\ 1 & a & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$ のランクが2であるための $a$ に関する必要十分条件を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & a \\ 1 & a & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$ のランクが2であるための $a$ に関する必要十分条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式を計算する。

$\det(A) = a(a - a^2) - 1(1 - a^2) + a(a - a^2) = a^2 - a^3 - 1 + a^2 + a^2 - a^3 = -2a^3 + 3a^2 - 1$

$\det(A) = 0$ のとき、ランクが3未満となる。

$\det(A) = -2a^3 + 3a^2 - 1 = -(2a^3 - 3a^2 + 1) = -(a-1)^2(2a+1) = 0$

したがって、$a=1$ または $a = -\frac{1}{2}$ のとき、ランクは3未満となる。

次に、$a=1$ のとき、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ となり、ランクは1である。

したがって、$a=1$ は条件を満たさない。

次に、$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

このとき、$A$ の小行列式を調べる。例えば、$\begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \neq 0$ より、ランクは少なくとも2である。

また、$\det(A) = 0$ より、ランクは3未満である。したがって、ランクは2となる。

したがって、求める必要十分条件は $a = -\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$