以下の3つの不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。 (1) $a > 0, b > 0$ のとき、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ (2) $a \ge 1, b \ge 1$ のとき、$ab + 1 \ge a + b$ (3) $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。

(1) $a > 0, b > 0$ のとき、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$

(2) $a \ge 1, b \ge 1$ のとき、$ab + 1 \ge a + b$

(3) $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

$a > 0, b > 0$ のとき、

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

相加平均と相乗平均の関係より、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$

したがって、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 2 + 2 = 4$

等号成立条件: $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$ つまり、$a^2 = b^2$。$a > 0, b > 0$ より $a = b$

(2) 不等式の証明

$ab + 1 \ge a + b$ を示す。

$ab + 1 - (a + b) = ab - a - b + 1 = a(b-1) - (b-1) = (a-1)(b-1)$

$a \ge 1, b \ge 1$ より、$a-1 \ge 0, b-1 \ge 0$

したがって、$(a-1)(b-1) \ge 0$

ゆえに、$ab + 1 \ge a + b$

等号成立条件: $a-1 = 0$ または $b-1 = 0$ つまり、$a = 1$ または $b = 1$

(3) 不等式の証明

$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ を示す。

$2(a^2 + b^2 + c^2) \ge 2(ab + bc + ca)$ を示すのと同値。

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \ge 0$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$

実数の二乗は0以上なので、この不等式は常に成り立つ。

等号成立条件: $a-b = 0$ かつ $b-c = 0$ かつ $c-a = 0$ つまり、$a = b = c$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ (等号成立は $a = b$ のとき)

(2) $ab + 1 \ge a + b$ (等号成立は $a = 1$ または $b = 1$ のとき)

(3) $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ (等号成立は $a = b = c$ のとき)