$p = |3 - \sqrt{10}|$ とする。 (i) $p$ の値を求める。 (ii) $p + \frac{1}{p}$ の値を求める。 (iii) $(p^2 + \frac{1}{p^2} - 18)^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$p = |3 - \sqrt{10}|$ とする。

(i) $p$ の値を求める。

(ii) $p + \frac{1}{p}$ の値を求める。

(iii) $(p^2 + \frac{1}{p^2} - 18)^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) $p$ の値を求める。

$\sqrt{10} \approx 3.16$ なので、$3 - \sqrt{10}$ は負の数である。

絶対値を外すには、符号を反転させる必要がある。

$p = |3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3$

(ii) $p + \frac{1}{p}$ の値を求める。

$\frac{1}{p} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ である。

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{10} + 3$ をかける。

$\frac{1}{p} = \frac{\sqrt{10} + 3}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)} = \frac{\sqrt{10} + 3}{10 - 9} = \sqrt{10} + 3$

よって、

$p + \frac{1}{p} = (\sqrt{10} - 3) + (\sqrt{10} + 3) = 2\sqrt{10}$

(iii) $(p^2 + \frac{1}{p^2} - 18)^2$ の値を求める。

$(p + \frac{1}{p})^2 = p^2 + 2 + \frac{1}{p^2}$

$p^2 + \frac{1}{p^2} = (p + \frac{1}{p})^2 - 2$

$p + \frac{1}{p} = 2\sqrt{10}$ なので、

$p^2 + \frac{1}{p^2} = (2\sqrt{10})^2 - 2 = 40 - 2 = 38$

よって、

$(p^2 + \frac{1}{p^2} - 18)^2 = (38 - 18)^2 = (20)^2 = 400$

3. 最終的な答え

(i) $p = \sqrt{10} - 3$

(ii) $p + \frac{1}{p} = 2\sqrt{10}$

(iii) $(p^2 + \frac{1}{p^2} - 18)^2 = 400$