$A$ は鋭角であり、$\tan A = 4$ であるとき、$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A$ は鋭角であり、$\tan A = 4$ であるとき、$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である次の式を利用します。

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$

これに $\tan A = 4$ を代入すると、

$1 + 4^2 = \frac{1}{\cos^2 A}$

$1 + 16 = \frac{1}{\cos^2 A}$

$17 = \frac{1}{\cos^2 A}$

$\cos^2 A = \frac{1}{17}$

$A$ は鋭角なので、$\cos A > 0$ となります。したがって、

$\cos A = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を利用します。

$\sin A = \tan A \cdot \cos A$

$\sin A = 4 \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\sin A = \frac{4\sqrt{17}}{17}$