(1) 1次関数 $f(x) = ax + b$ について、$f(-1) = 4$ かつ $f(2) = 2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。 (2) 関数 $y = ax + b$ ($2 \le x \le 5$) の値域が $-1 \le y \le 5$ となるように、定数 $a, b$ の値を定める。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

(1) 1次関数 $f(x) = ax + b$ について、$f(-1) = 4$ かつ $f(2) = 2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

(2) 関数 $y = ax + b$ ($2 \le x \le 5$) の値域が $-1 \le y \le 5$ となるように、定数 $a, b$ の値を定める。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = ax + b$ に、$f(-1) = 4$ と $f(2) = 2$ を代入する。

$f(-1) = -a + b = 4$

$f(2) = 2a + b = 2$

これらの連立方程式を解く。

2つの式を引き算すると、

$(-a + b) - (2a + b) = 4 - 2$

$-3a = 2$

$a = -\frac{2}{3}$

これを $-a + b = 4$ に代入すると、

$\frac{2}{3} + b = 4$

$b = 4 - \frac{2}{3} = \frac{12 - 2}{3} = \frac{10}{3}$

(2) $y = ax + b$ ($2 \le x \le 5$) について、$a < 0$ であるから、関数は減少関数である。したがって、$x = 2$ のときに $y$ は最大値を取り、$x = 5$ のときに $y$ は最小値を取る。

$x = 2$ のとき $y = 5$

$x = 5$ のとき $y = -1$

これらの値を式に代入すると、

$2a + b = 5$

$5a + b = -1$

これらの連立方程式を解く。

2つの式を引き算すると、

$(2a + b) - (5a + b) = 5 - (-1)$

$-3a = 6$

$a = -2$

これを $2a + b = 5$ に代入すると、

$2(-2) + b = 5$

$-4 + b = 5$

$b = 9$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{2}{3}$, $b = \frac{10}{3}$

(2) $a = -2$, $b = 9$