$A$ を $n$ 次正方行列、$ \tilde{A} $ を $A$ の余因子行列とします。等式 $^t\tilde{A}A = |A|E$ が成り立つことを用いて、命題「$^t\tilde{A}$ が正則であるならば、$A$ は正則である」が真であることを証明します。ここで、$E$ は $n$ 次単位行列、$|A|$ は $A$ の行列式、$^t\tilde{A}$ は $ \tilde{A} $ の転置行列を表します。

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次正方行列、$\tilde{A}$ を $A$ の余因子行列とします。等式 $^t\tilde{A}A = |A|E$ が成り立つことを用いて、命題「$^t\tilde{A}$ が正則であるならば、$A$ は正則である」が真であることを証明します。ここで、$E$ は $n$ 次単位行列、$|A|$ は $A$ の行列式、$^t\tilde{A}$ は $\tilde{A}$ の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

$^t\tilde{A}$ が正則であると仮定します。つまり、ある行列 $B$ が存在して、

$B ^t\tilde{A} = ^t\tilde{A} B = E$ が成り立ちます。

与えられた等式 $^t\tilde{A}A = |A|E$ の両辺に左から $B$ を掛けると、

$B(^t\tilde{A}A) = B(|A|E)$

結合法則より

$(B ^t\tilde{A})A = |A|BE$

$^t\tilde{A}$ が正則であることより、$B ^t\tilde{A} = E$ なので

$EA = |A|B$

$A = |A|B$

ここで、$|A| \neq 0$ であることを示します。もし $|A| = 0$ ならば、$A = 0$ となり、$^t\tilde{A}A = 0$ となります。すると、$^t\tilde{A}$ は正則ではないことになり矛盾します。したがって、$|A| \neq 0$ です。

$A = |A|B$ の両辺を $|A|$ で割ると

$\frac{1}{|A|} A = B$

したがって、$A$ の逆行列は存在し、$A^{-1} = \frac{1}{|A|}B$ となります。よって、$A$ は正則です。

3. 最終的な答え

$^t\tilde{A}$ が正則であるならば、$A$ は正則である。