$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ である。$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ である。$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な関係式を利用する。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

ここで、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\cos \theta < 0$ であるから、

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{2\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$