三角形ABCの外接円の半径Rを、以下の条件でそれぞれ求めます。 (1) $a=4$, $A=45^\circ$ (2) $b=5$, $B=30^\circ$

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円の半径Rを、以下の条件でそれぞれ求めます。

(1) $a=4$, $A=45^\circ$

(2) $b=5$, $B=30^\circ$

2. 解き方の手順

正弦定理を利用して外接円の半径を求めます。

正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

となることを利用します。

(1) $a=4$, $A=45^\circ$の場合

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

$R = \frac{4}{2 \sin 45^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$R = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

(2) $b=5$, $B=30^\circ$の場合

正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$R = \frac{b}{2 \sin B}$

$R = \frac{5}{2 \sin 30^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$R = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5}{1} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $R = 2\sqrt{2}$

(2) $R = 5$