三角形ABCの内部に点Pがあり、点Pから辺AB, ACに垂線を下ろし、その交点をそれぞれD, Eとする。AD=AEであるとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$であることを証明する。 (2) $\angle BAP = a^\circ$ とし、点Pが$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点であるとき、 (i) $\angle BPC$の大きさを$a$を用いて表す。 (ii) 点Pを通り、辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をQとし、線分QC上に$BC=PQ+QR+RP$を満たす点Rをとるとき、$\angle QPR$の大きさを$a$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部に点Pがあり、点Pから辺AB, ACに垂線を下ろし、その交点をそれぞれD, Eとする。AD=AEであるとき、以下の問いに答える。

(1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$であることを証明する。

(2) $\angle BAP = a^\circ$ とし、点Pが$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点であるとき、

(i) $\angle BPC$の大きさを$a$を用いて表す。

(ii) 点Pを通り、辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をQとし、線分QC上に$BC=PQ+QR+RP$を満たす点Rをとるとき、$\angle QPR$の大きさを$a$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ADP$と$\triangle AEP$において、

$AD=AE$ (仮定)

$\angle ADP = \angle AEP = 90^\circ$ (仮定)

$AP$は共通

直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、

$\triangle ADP \equiv \triangle AEP$

(2) (i) 点Pは$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点なので、

$\angle ABP = \angle CBP$

$\angle ACP = \angle BCP$

$\angle BAP = a^\circ$であるから、$\angle BAC = a^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - a^\circ$

$\angle PBC + \angle PCB = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2} (180^\circ - a^\circ) = 90^\circ - \frac{a}{2}^\circ$

$\angle BPC = 180^\circ - (\angle PBC + \angle PCB) = 180^\circ - (90^\circ - \frac{a}{2}^\circ) = 90^\circ + \frac{a}{2}^\circ$

(ii) 点Pを通りABと平行な直線とBCとの交点をQとする。

$\angle ABC$の二等分線上に点Pがあるので、

$\angle ABP = \angle CBP$

また、PQ//ABなので、$\angle BPQ = \angle ABP$

よって、$\angle BPQ = \angle CBP$

したがって、$\triangle BPQ$は二等辺三角形であり、$PQ = BQ$

与えられた条件より、$BC=PQ+QR+RP$

$BC = BQ+QR+RP$

$BC = BQ + QC$なので、

$QC = QR + RP$

$\angle BAP = a$より$\angle ACB = 180 - (BAP + ABC)$となる。

また$\angle PBC = \frac{\angle ABC}{2}$, $\angle PCB = \frac{\angle ACB}{2}$である。

点PからABと平行な直線を引き、辺BCとの交点をQとするので、$\angle QPB = \angle ABP$

$\angle ABP = \angle PBC$より、$\triangle BPQ$は二等辺三角形。したがって$BQ=PQ$

条件より、$BC = PQ + QR + RP$であり、$BC = BQ + QC$なので、$QC = QR + RP$となる。

ここで、辺BC上に点Rを取ると、$RC > RP$になるので、$QR=QC-RC$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$ (証明終わり)

(2) (i) $\angle BPC = 90^\circ + \frac{a}{2}^\circ$

(ii) $\angle QPR = \frac{a}{2}^\circ$