三角形ABCの内部に点Pがあり、点Pから辺AB, ACに垂線を下ろし、その交点をそれぞれD, Eとする。AD=AEであるとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$であることを証明する。 (2) $\angle BAP = a^\circ$ とし、点Pが$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点であるとき、 (i) $\angle BPC$の大きさを$a$を用いて表す。 (ii) 点Pを通り、辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をQとし、線分QC上に$BC=PQ+QR+RP$を満たす点Rをとるとき、$\angle QPR$の大きさを$a$を用いて表す。
2025/6/15
1. 問題の内容
三角形ABCの内部に点Pがあり、点Pから辺AB, ACに垂線を下ろし、その交点をそれぞれD, Eとする。AD=AEであるとき、以下の問いに答える。
(1) であることを証明する。
(2) とし、点Pがとの二等分線の交点であるとき、
(i) の大きさをを用いて表す。
(ii) 点Pを通り、辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をQとし、線分QC上にを満たす点Rをとるとき、の大きさをを用いて表す。
2. 解き方の手順
(1) とにおいて、
(仮定)
(仮定)
は共通
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
(2) (i) 点Pはとの二等分線の交点なので、
であるから、
(ii) 点Pを通りABと平行な直線とBCとの交点をQとする。
の二等分線上に点Pがあるので、
また、PQ//ABなので、
よって、
したがって、は二等辺三角形であり、
与えられた条件より、
なので、
よりとなる。
また, である。
点PからABと平行な直線を引き、辺BCとの交点をQとするので、
より、は二等辺三角形。したがって
条件より、であり、なので、となる。
ここで、辺BC上に点Rを取ると、になるので、となる。
3. 最終的な答え
(1) (証明終わり)
(2) (i)
(ii)